Думал на протяжении нескольких секунд

Диагонали прямоугольной трапеции взаимно перпендикулярны. Короткая боковая сторона AB равна 9 см, длинное основание AD равно 12 см. Определите длину короткого основания BC и найдите длины отрезков, на которые точка пересечения O делит диагонали.

Решу в координатах — так проще не запутаться.

Пусть трапеция $ABCD$ с основаниями $AD\parallel BC$, при этом $AD$ — длинное основание, $AB$ — короткая боковая сторона и она перпендикулярна основаниям (прямоугольная трапеция). Возьмём:

• $A(0,0)$, $D(12,0)$ — так что $AD=12$;

• $AB=9$, значит $B(0,9)$;

• Пусть короткое основание $BC=b$, тогда $C(b,9)$.

Диагонали:
$AC$: от $(0,0)$ к $(b,9)$, её наклон $k_{AC}= \dfrac{9}{b}$.
$BD$: от $(0,9)$ к $(12,0)$, её наклон $k_{BD}= \dfrac{0-9}{12-0}= -\dfrac{3}{4}$.

По условию диагонали взаимно перпендикулярны, значит $k_{AC}\cdot k_{BD}=-1$:

Итак, короткое основание

Теперь найдём, как диагонали делятся точкой пересечения $O$.
Параметризация:

В точке пересечения $O$: $tb=12s$ и $9t=9-9s\Rightarrow t=1-s$.
Тогда $b(1-s)=12s\Rightarrow s=\dfrac{b}{b+12},\quad t=\dfrac{12}{b+12}$.

Подставим $b=\dfrac{27}{4}$:

Длины диагоналей: