В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О, AB=9см, AC=16см. Найдите периметр треугольника COD.

Чтобы найти периметр треугольника COD в прямоугольнике ABCD, сначала необходимо разобраться с некоторыми характеристиками треугольника и самого прямоугольника.

1. Основные свойства прямоугольника:

   • Прямоугольник ABCD имеет равные противоположные стороны, то есть AB = CD и AD = BC.
   • Диагонали прямоугольника равны и пересекаются в точке O, что означает, что AO = OC и BO = OD.

2. Данные задачи:

   • Длина стороны AB = 9 см.
   • Длина диагонали AC = 16 см.

3. Поиск длины стороны AD:

   • В прямоугольнике диагонали и стороны связаны с помощью теоремы Пифагора. Для треугольника ABC, где AC является гипотенузой, можем записать: $$AC^2 = AB^2 + AD^2$$
   • Подставим известные значения: $$16^2 = 9^2 + AD^2$$ $$256 = 81 + AD^2$$ $$AD^2 = 256 - 81 = 175$$ $$AD = \sqrt{175} = 5\sqrt{7} \text{ см.}$$

4. Теперь мы можем найти длины отрезков COD.

   • Точка O, где пересекаются диагонали, делит каждую диагональ пополам. Таким образом: $$AO = \frac{AC}{2} = \frac{16}{2} = 8 \text{ см,}$$ $$BO = \frac{BD}{2}.$$
   • Чтобы найти длину диагонали BD, применим теорему Пифагора к треугольнику ABD: $$BD^2 = AB^2 + AD^2 = 9^2 + (5\sqrt{7})^2 = 81 + 175 = 256$$ $$BD = \sqrt{256} = 16 \text{ см.}$$
   • Теперь найдем BO: $$BO = \frac{BD}{2} = \frac{16}{2} = 8 \text{ см.}$$

5. Далее находим длины отрезков CO и OD:

   • Поскольку диагонали равны, то: $$OC = AO = 8 \text{ см,}$$ $$OD = BO = 8 \text{ см.}$$

6. Теперь можно найти периметр треугольника COD:

   • Длину стороны CD можно выразить через AD, поскольку CD = AB = 9 см.
   • Таким образом, стороны треугольника COD равны:
     • CO = 8 см,
     • OD = 8 см,
     • CD = 9 см.

7. Периметр треугольника COD:

   $$P = CO + OD + CD = 8 + 8 + 9 = 25 \text{ см.}$$

Таким образом, периметр треугольника COD равен 25 см.