На гипотенузе прямоугольного треугольника взята точка, равноудаленная от катетов, которая разбивает гипотенузу на отрезки 6 и 4. Найдите высоту этого треугольника, проведенную из вершины прямого угла.

Пусть $\triangle ABC$ прямоугольный, $\angle C = 90^\circ$, гипотенуза $AB$. На $AB$ взята точка $P$, которая равноудалена от катетов $CA$ и $CB$, и при этом разбивает гипотенузу на отрезки:

1) Что значит «равноудалена от катетов»

Расстояние от точки до стороны — это перпендикуляр. Если точка $P$ равноудалена от сторон $CA$ и $CB$, то она лежит на биссектрисе угла между этими сторонами, то есть на биссектрисе угла $C$.

Значит, $CP$ — биссектриса прямого угла $\angle C$.

2) Применяем теорему о биссектрисе

Биссектриса делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон:

Подставляем $AP=6$, $PB=4$:

Значит, катеты можно записать как:

3) Находим $k$ из условия про гипотенузу

По теореме Пифагора:

Но $AB = 10$, значит:

4) Высота из прямого угла на гипотенузу

Высота $h$, опущенная из вершины прямого угла $C$ на гипотенузу $AB$, выражается через катеты:

Подставляем:

Вычислим $k^2$:

Тогда:

Ответ