Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием AC лежит точка D, причем AD = CD. Докажите, что угол DBA равен углу DBC.

Для того чтобы доказать, что угол $\angle DBA$ равен углу $\angle DBC$, рассмотрим следующие шаги.

1. Даны условия задачи: у нас есть равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$, и внутри этого треугольника расположена точка $D$, такая что $AD = CD$.

2. Симметрия треугольника: поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный, то стороны $AB = BC$, и углы при основании $\angle BAC = \angle BCA$.

3. Треугольник $ACD$: так как $AD = CD$, то треугольник $ACD$ является равнобедренным. Из этого следует, что углы при основании $\angle DAC = \angle DCA$.

4. Рассмотрение углов $\angle DBA$ и $\angle DBC$: теперь рассмотрим два треугольника $ABD$ и $CBD$.

   • В треугольнике $ABD$ угол $\angle DBA$ образуется между сторонами $BD$ и $AB$.

   • В треугольнике $CBD$ угол $\angle DBC$ образуется между сторонами $BD$ и $BC$.

5. Треугольники $ABD$ и $CBD$ равны по гипотенузе и одному катету: стороны $AB = BC$ (так как треугольник $ABC$ равнобедренный), а также $BD$ общая для обоих треугольников. Таким образом, треугольники $ABD$ и $CBD$ равны по признаку равенства треугольников по гипотенузе и прилежащему к ней катету.

6. Следствие из равенства треугольников: поскольку треугольники $ABD$ и $CBD$ равны, то углы $\angle DBA$ и $\angle DBC$ также равны.

Таким образом, мы доказали, что угол $\angle DBA$ равен углу $\angle DBC$.