В равнобедренный треугольник ABC вписана окружность, которая касается основания AC в точке G, а боковых сторон AB и BC в точках D и F. Найдите периметр треугольника ABC, если FB = 4 см, а AG = 2 см.

Для нахождения периметра треугольника ABC, в котором вписана окружность, используем свойства равнобедренного треугольника и касательные.

1. Пусть периметр треугольника ABC равен $P = AB + BC + AC$.

2. Обозначим длины сторон треугольника:

   • $AB = BC = x$ (так как треугольник равнобедренный).

   • Длину основания $AC = b$.

3. В треугольнике касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны. Поэтому:

   • $AG = AF = 2$ см (касательные из точки A к окружности).

   • $BD = BG = x - 2$ см (касательные из точки B).

   • $CF = CG = x - 4$ см (касательные из точки C).

4. Из данных в задаче известно, что $FB = 4$ см. Поскольку $FB$ является касательной, то:
   $FB = BC - BG = 4$
   Таким образом:
   $x - 2 = 4$
   откуда $x = 6$ см.

5. Теперь можно найти длину основания $AC$. С учетом, что $AG = 2$ см и $GF = 4$ см (так как $GF = FB$), длина основания будет равна:
   $AC = AG + GF = 2 + 4 = 6 \, \text{см}.$

6. Периметр треугольника ABC:

   $$P = AB + BC + AC = 6 + 6 + 6 = 18 \, \text{см}.$$

Ответ: периметр треугольника ABC равен 18 см.