Окружность радиуса 3 вписана в равнобокую трапецию ABCD
(AD || BC), площадь которой равна 48. Окружность касается оснований
в точках M и N и боковых сторон в точках P и Q. Требуется найти площадь четырёхугольника MPNQ.

Для решения задачи нужно использовать несколько геометрических свойств, связанных с вписанной окружностью и равнобокой трапецией.

1. Обозначения и исходные данные:

• Пусть $ABCD$ — равнобокая трапеция, где $AD \parallel BC$, $AB = CD$ (боковые стороны равны).
• Радиус вписанной окружности $r = 3$.
• Площадь трапеции $S = 48$.

2. Свойства трапеции с вписанной окружностью:

В трапеции с вписанной окружностью, сумма длин её оснований равна сумме длин боковых сторон. То есть, если $AB = a$, $CD = b$ — основания, а $AD = BC = c$ — боковые стороны, то выполняется равенство:

3. Площадь трапеции:

Площадь трапеции можно выразить через её основания и высоту. Если $h$ — высота трапеции, то площадь вычисляется по формуле:

Так как $S = 48$, подставляем:

Или:

4. Радиус вписанной окружности:

Радиус вписанной окружности $r$ связан с площадью трапеции и полупериметром $p$ следующим образом:

где $p$ — полупериметр трапеции, который равен:

Используя $a + b = 2c$, получаем:

Подставим это в формулу для площади:

Отсюда $c = 8$.

5. Найдём основания:

Теперь, зная $c = 8$, можем найти сумму оснований:

Площадь трапеции также равна:

Подставляем $a + b = 16$:

Отсюда $h = 6$.

6. Площадь четырёхугольника MPNQ:

Четырёхугольник $MPNQ$ — это фигура, образованная точками касания вписанной окружности с основаниями и боковыми сторонами трапеции. Площадь этого четырёхугольника можно найти как разницу между площадью трапеции и четырьмя треугольниками, которые образуются с вершинами трапеции и центром окружности.

Площадь каждого из этих треугольников равна:

где $h_1$ и $h_2$ — длины отрезков, от основания до точек касания. Мы знаем, что при вписанной окружности всё зависит от исходных длины.