Диагональ параллелограмма является высотой и равна половине стороны, не перпендикулярной к ней. Найти углы параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, и его диагональ $AC$ является высотой.

Это значит, что диагональ $AC$ перпендикулярна одной из сторон параллелограмма. Пусть, например,

Тогда сторона, не перпендикулярная к диагонали $AC$, — это сторона $AB$. По условию диагональ равна половине этой стороны:

Рассмотрим треугольник $ACD$. Так как $AC \perp AD$, то угол между $AC$ и $AD$ прямой.

Обозначим:

Тогда

Поскольку в параллелограмме противоположные стороны равны, то

Получается прямоугольный треугольник $ACD$, в котором гипотенуза $CD=a$, а катет $AC=\frac a2$.

В прямоугольном треугольнике катет, равный половине гипотенузы, лежит против угла $30^\circ$. Значит,

Но $\angle ADC$ — один из углов параллелограмма. Соседний с ним угол равен

Следовательно, углы параллелограмма: