"дан куб ABCDA1B1C1D1. укажите три прямые, проходящие: а) через точку D и скрещивающиеся с прямой AB1, б) через точку B1 и скрещивающиеся с прямой A1D."

Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и определим три прямые, которые проходят через указанные точки и при этом скрещиваются с заданными прямыми. Чтобы найти такие прямые, нужно учитывать, что скрещивающиеся прямые не могут лежать в одной плоскости и не могут пересекаться.

Задача (а): Найти три прямые, проходящие через точку $D$ и скрещивающиеся с прямой $AB_1$

1. Прямая $D_1C$: Эта прямая проходит через точку $D$ и соединяет вершину $D_1$ с вершиной $C$. Она скрещивается с $AB_1$, поскольку они не лежат в одной плоскости и не пересекаются.

2. Прямая $DC_1$: Прямая $DC_1$ соединяет вершину $D$ с вершиной $C_1$ (вершина, противоположная вершине $B_1$). Она также скрещивается с $AB_1$, поскольку эти прямые не пересекаются и не лежат в одной плоскости.

3. Прямая $DA_1$: Прямая $DA_1$ соединяет вершину $D$ с вершиной $A_1$, находящейся на верхней грани куба. Она также скрещивается с прямой $AB_1$, так как эти прямые не пересекаются и не лежат в одной плоскости.

Задача (б): Найти три прямые, проходящие через точку $B_1$ и скрещивающиеся с прямой $A_1D$

1. Прямая $B_1C$: Прямая $B_1C$ соединяет точку $B_1$ с точкой $C$ на нижней грани куба. Эти прямые скрещиваются, поскольку они не лежат в одной плоскости и не пересекаются.

2. Прямая $B_1D_1$: Прямая $B_1D_1$ соединяет вершину $B_1$ с вершиной $D_1$ (на верхней грани куба). Она скрещивается с прямой $A_1D$, так как они не находятся в одной плоскости и не пересекаются.

3. Прямая $B_1A$: Прямая $B_1A$ соединяет вершину $B_1$ с вершиной $A$ (на нижней грани куба). Эта прямая также скрещивается с $A_1D$, поскольку они не лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Таким образом, для каждой из задач мы определили три прямые, которые проходят через указанные точки и скрещиваются с данными прямыми, используя принцип, что скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости и не пересекаются.