1. Через середину E гипотенузы AВ прямоугольного треугольника АВС проведен к его плоскости перпендикуляр ЕМ, равный 4√5см. АС=ВС, АС=16см, угол С=90°.
Вычислите
а) расстояние от точки М до прямой АС;
б) площади треугольника АСМ и его проекции на плоскость данного треугольника;
в) расстояние между прямыми ЕМ и ВС.
2. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, основание которого квадрат. АС=6√2 см, AB1=4√3 см.
Вычислите градусную меру двугранного угла B1ADB.

1. Задача о прямоугольном треугольнике ACB

Дано:

• Прямоугольный треугольник ABC с уголком C = 90°.
• AC = BC = 16 см (треугольник равнобедренный).
• Через середину E гипотенузы AB проведен перпендикуляр EM = 4√5 см.

а) Расстояние от точки M до прямой AC

1. Найдем координаты точек:

   • Установим координаты: A(0, 0), B(16, 0), C(0, 16).
   • Тогда AB = √((16 - 0)² + (0 - 0)²) = 16 см.

2. Середина гипотенузы:

   • E = ((0 + 16)/2, (0 + 16)/2) = (8, 0).

3. Координаты точки M:

   • M = (8, 4√5), так как он находится перпендикулярно E.

4. Определим уравнение прямой AC:

   • Уравнение AC: y = -x + 16.

5. Расстояние от точки до прямой:

   • Формула расстояния от точки (x0, y0) до прямой Ax + By + C = 0:
   $$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.$$
   • Уравнение AC: x + y - 16 = 0, A = 1, B = 1, C = -16.
   • Подставим M (8, 4√5):
   $$d = \frac{|1 \cdot 8 + 1 \cdot 4\sqrt{5} - 16|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|8 + 4\sqrt{5} - 16|}{\sqrt{2}} = \frac{|4\sqrt{5} - 8|}{\sqrt{2}}.$$

6. Вычислим расстояние:

   • Упростим выражение: d = $\frac{8 - 4\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$.

б) Площадь треугольника ACM и его проекции на плоскость

1. Площадь треугольника ACM:

   • Формула площади:
   $$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h,$$

   где h – высота, перпендикулярная к основанию AC. Поскольку точка M находится выше, h = 4√5 см.

   $$S_{ACM} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 4\sqrt{5} = 32\sqrt{5} \text{ см}^2.$$

2. Площадь проекции треугольника ACM:

   • Проекция на плоскость ABC будет равна S_{ACM} умножить на cos(угол между нормалью к плоскости и высотой).
   • Угол между EM и плоскостью ABC равен 90°, cos(90°) = 0, значит, площадь проекции будет равна нулю.

в) Расстояние между прямыми EM и BC

1. Определим уравнение прямой BC:

   • Уравнение BC: x = 16.

2. Расстояние между параллельными прямыми:

   • Используем расстояние от точки M до прямой BC.
   • Расстояние от точки M(8, 4√5) до линии x = 16:
   $$d = |16 - 8| = 8 \text{ см}.$$

2. Задача о прямоугольном параллелепипеде

Дано:

• Параллелепипед ABCDA1B1C1D1, основание которого квадрат.
• AC = 6√2 см, AB1 = 4√3 см.

Градусная мера двугранного угла B1ADB

1. Определение размеров:

   • Основание ABCD является квадратом со стороной a.
   • Используем теорему Пифагора для нахождения a:
   $$AC = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}.$$
   • Следовательно,
   $$a\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \Rightarrow a = 6 \text{ см}.$$

2. Определяем высоту:

   • AB1 = 4√3 см, что означает, что высота параллелепипеда h = 4√3 см.

3. Нахождение углов:

   • Векторы:
     • B1A = (0, 0, 4√3) и BD = (6, 6, 0) - это векторы, образующие двугранный угол.
   • Находим угол между этими векторами, используя скалярное произведение:
   $$\cos(\phi) = \frac{B1A \cdot BD}{|B1A| |BD|}.$$
   • Длины векторов:
     • |B1A| = 4√3, |BD| = √(6² + 6²) = 6√2.
   • Скалярное произведение:
   $$B1A \cdot BD = 0 \cdot 6 + 0 \cdot 6 + (4√3) \cdot 0 = 0.$$
   • Поэтому $\cos(\phi) = 0$ и угол φ = 90°.

Таким образом, двугранный угол между плоскостями B1AD и ABD равен 90°.