В основании правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит треугольник ABC, AB=6. Высота призмы AA1=3. Найдите расстояние между прямой A1B1 и плоскостью ABC1.

Прямая $A_1B_1$ параллельна прямой $AB$, а прямая $AB$ лежит в плоскости $ABC_1$. Значит, $A_1B_1$ параллельна плоскости $ABC_1$, и расстояние между прямой и плоскостью можно искать как расстояние от любой точки прямой $A_1B_1$ до этой плоскости. Возьмём точку $A_1$.

Зададим координаты:

Так как $ABC$ — правильный треугольник со стороной $6$, можно взять

Высота призмы равна $3$, поэтому

Найдём уравнение плоскости $ABC_1$. Она проходит через точки $A$, $B$, $C_1$.

Векторы:

Нормальный вектор к плоскости найдём как векторное произведение:

Можно сократить и взять нормальный вектор

Так как плоскость проходит через начало координат $A(0;0;0)$, её уравнение имеет вид:

или

Теперь найдём расстояние от точки $A_1(0;0;3)$ до этой плоскости:

Подставим координаты точки $A_1$:

Ответ: