В конус вписан шар радиуса r. Образующая конуса составляет с плоскостью основания угол 60°. Найдите

Ответы на вопрос

Отвечает Сулейменов Арслан.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник, в который вписана окружность радиуса $r$ . Эта окружность является сечением вписанного шара.

Пусть:

R

— радиус основания конуса,

h

— высота конуса,

l

— образующая конуса.

Образующая составляет с плоскостью основания угол $60^\circ$ . В осевом сечении это означает, что в прямоугольном треугольнике с катетами $R$ и $h$ , гипотенузой $l$ , угол между $R$ и $l$ равен $60^\circ$ .

Тогда:

\tan 60^\circ=\frac{h}{R}

\sqrt{3}=\frac{h}{R}

откуда

h=\sqrt{3}R

Также

\cos 60^\circ=\frac{R}{l}

\frac12=\frac{R}{l}

поэтому

l=2R

Теперь найдем радиус вписанной окружности в осевое сечение. Осевое сечение — равнобедренный треугольник со сторонами:

l,\ l,\ 2R

То есть:

2R,\ 2R,\ 2R

поскольку $l=2R$ . Значит, осевое сечение является равносторонним треугольником со стороной $2R$ .

Высота этого треугольника равна высоте конуса:

h=\sqrt{3}R

Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника со стороной $a$ равен:

r=\frac{a\sqrt{3}}{6}

Здесь

a=2R

поэтому

r=\frac{2R\sqrt{3}}{6}

r=\frac{R\sqrt{3}}{3}

r=\frac{R}{\sqrt{3}}

Отсюда:

R=r\sqrt{3}

Тогда высота конуса:

h=\sqrt{3}R

h=\sqrt{3}\cdot r\sqrt{3}=3r

Объем конуса равен:

V=\frac13 \pi R^2h

Подставим $R=r\sqrt{3}$ и $h=3r$ :

V=\frac13\pi (r\sqrt{3})^2\cdot 3r

V=\frac13\pi \cdot 3r^2\cdot 3r

V=3\pi r^3

Ответ:

\boxed{3\pi r^3}

В конус вписан шар радиуса r. Образующая конуса составляет с плоскостью основания угол 60°. Найдите объем конуса.

Ответы на вопрос

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Геометрия

Последние заданные вопросы в категории Геометрия