В окружности с центром в точке О проведены две хорды АВ и СД. Прямые АВ и СД перпендикулярны и пересекаются в точке М, лежащей вне окружности. При этом АМ = 36, ВМ = 6, СД = 4√46. Найти ОМ.

Обозначим через $N$ середину хорды $AB$.

Так как $M$ лежит вне окружности, а прямая $AB$ пересекает окружность в точках $A$ и $B$, то точки на прямой расположены так:

потому что

Значит, длина хорды $AB$:

Тогда половина хорды:

Расстояние от точки $M$ до середины хорды $AB$:

Центр окружности $O$ лежит на перпендикуляре к хорде, проведённом через её середину. Поэтому $ON\perp AB$.

Пусть

Тогда из прямоугольного треугольника $ONB$:

А из прямоугольного треугольника $OMN$:

Теперь используем вторую хорду $CD$. Прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны и пересекаются в точке $M$, поэтому расстояние от центра $O$ до прямой $CD$ равно $MN=21$. Это видно так: если $AB$ считать горизонтальной прямой, то $CD$ будет вертикальной, а центр $O$ находится над серединой $AB$, то есть его горизонтальное расстояние до $CD$ равно $MN=21$.

Длина хорды выражается через радиус и расстояние от центра до хорды:

По условию

Тогда

Делим на $2$:

Возводим в квадрат:

Следовательно,

Теперь найдём $x^2$:

Тогда

Значит,

Ответ: