Найдите радиус вписанной окружности в равнобедренную трапецию с основанием 12 см и периметром 32 см.

Ответы на вопрос

Отвечает Борисов Егор.

Давайте разберём задачу шаг за шагом, как я бы объяснял её на сайте вопросов и ответов.

Дано: равнобокая трапеция с основанием $a = 12$ см (предположим, это большее основание), периметром $P = 32$ см. Надо найти радиус вписанной окружности $r$ .

Шаг 1: Вспомним свойства трапеции с вписанной окружностью

Если в трапецию можно вписать окружность, она называется вписанной трапецией. Для таких трапеций выполняется условие:

AB + CD = AD + BC

То есть сумма оснований равна сумме боковых сторон.

Обозначим:

$a$ — большее основание
$b$ — меньшее основание
$c$ — боковая сторона (т.к. равнобокая, обе боковые равны)

Тогда периметр:

P = a + b + 2c = 32

И условие вписанной окружности:

a + b = 2c

Шаг 2: Составим систему уравнений

У нас есть два уравнения:

$a + b + 2c = 32$
$a + b = 2c$

Подставляем $2c = a + b$ в первое уравнение:

a + b + (a + b) = 32 \implies 2(a + b) = 32 \implies a + b = 16

Тогда $2c = 16 \implies c = 8$

Итак, боковые стороны равны 8 см.

Шаг 3: Найдём меньшее основание

Мы знаем, что большее основание $a = 12$ , значит:

b = 16 - a = 16 - 12 = 4 \text{ см}

Проверим боковые стороны: $c = 8$ , всё сходится.

Шаг 4: Радиус вписанной окружности

Для трапеции с вписанной окружностью радиус $r$ можно найти по формуле:

r = \frac{a - b}{2} \cdot \frac{h}{a - b} \text{ ???}

Давайте аккуратно. Вписанная окружность касается всех сторон, и её радиус равен высоте трапеции, делённой на 2, умноженной на отношение оснований, или проще через площадь.

Формула через площадь:
Площадь трапеции $S = \frac{(a+b)}{2} \cdot h$
Площадь также $S = r \cdot \frac{P}{2}$ (так как радиус вписанной окружности $r$ умножается на полупериметр, как в многоугольнике с вписанной окружностью).

Полупериметр $s = P/2 = 32/2 = 16$

Площадь через $r$ :

S = r \cdot s = r \cdot 16

Площадь через основания и высоту:

S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{12 + 4}{2} \cdot h = 8h

Приравниваем:

8h = 16 r \implies r = \frac{8h}{16} = \frac{h}{2}

Шаг 5: Найдём высоту

Для равнобокой трапеции:

h = \sqrt{c^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2} = \sqrt{8^2 - \left(\frac{12-4}{2}\right)^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4 \sqrt{3}

Тогда радиус:

r = \frac{h}{2} = \frac{4 \sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{3} \text{ см}

✅ Ответ:

\boxed{2 \sqrt{3} \text{ см}}