Формула для вычисления радиуса окружности, вписанной в выпуклый многоугольник?

Если в выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то есть окружность касается всех его сторон, радиус этой окружности обычно обозначают $r$ и называют радиусом вписанной окружности.

Главная формула:

где:

— площадь многоугольника,

— полупериметр многоугольника, то есть

где $P$ — периметр многоугольника.

То же самое можно записать так:

Это самая удобная общая формула для выпуклого многоугольника, в который вписана окружность.

Почему так получается: если соединить центр вписанной окружности с вершинами многоугольника, многоугольник разобьётся на треугольники. Высота каждого такого треугольника к стороне многоугольника равна $r$, потому что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен стороне. Поэтому площадь всего многоугольника равна сумме площадей треугольников:

где $a_1,a_2,\ldots,a_n$ — стороны многоугольника. Тогда:

А сумма сторон — это периметр $P$, значит:

Отсюда:

или, поскольку $p=\frac{P}{2}$,

Важно: такая формула применима именно тогда, когда окружность действительно вписана в многоугольник, то есть касается всех его сторон. Не в любой выпуклый многоугольник можно вписать окружность. Например, для любого треугольника это возможно, а для произвольного четырёхугольника — не всегда.