1) Катеты прямоугольного треугольника равны 15см и 20см . Найдите длину окружности , диаметром которой является высота, проведенная к гипотенузе.

2) Площадь квадрата равна S. Найдите :

а) длинну вписанной окружности

б) длинну дуги , заключенной между двумя соседними точками касания .

в) площадь части квадрата , лежащей вне вписанной окружности.

Решите пожалуйста если можно с рисунком.

1) Найдём длину окружности, диаметром которой является высота, проведённая к гипотенузе:

Даны катеты прямоугольного треугольника $a = 15 \, \text{см}$ и $b = 20 \, \text{см}$.

Решение:

1. Находим гипотенузу ($c$) по теореме Пифагора:

   $$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25 \, \text{см}.$$

2. Находим площадь треугольника ($S$):

   $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150 \, \text{см}^2.$$

3. Высота ($h$) к гипотенузе выражается через площадь:

   $$h = \frac{2S}{c} = \frac{2 \cdot 150}{25} = 12 \, \text{см}.$$

4. Высота является диаметром окружности, поэтому радиус:

   $$r = \frac{h}{2} = \frac{12}{2} = 6 \, \text{см}.$$

5. Длина окружности:

   $$L = 2 \pi r = 2 \pi \cdot 6 = 12\pi \, \text{см}.$$

Ответ: Длина окружности равна $12\pi \, \text{см}$ (приблизительно $37,7 \, \text{см}$).

2) Площадь квадрата равна $S$. Найдём:

а) Длину вписанной окружности.

Диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата:

Радиус:

Длина окружности:

б) Длину дуги, заключённой между двумя соседними точками касания.

Вписанная окружность касается сторон квадрата в четырёх точках, деля её на 4 равные дуги. Длина одной дуги:

в) Площадь части квадрата, лежащей вне вписанной окружности.

Площадь вписанной окружности:

Площадь части квадрата вне окружности:

Ответы:

1. Длина вписанной окружности: $\pi \sqrt{S}$.
2. Длина дуги: $\frac{\pi \sqrt{S}}{4}$