Может ли одна высота треугольника принадлежать ему а две другие нет

Да, в треугольнике действительно может быть ситуация, когда одна из его высот принадлежит самому треугольнику, а две другие не принадлежат. Давайте разберёмся, почему это так и от чего это зависит.

Высота треугольника – это отрезок, проведённый от вершины треугольника перпендикулярно к противоположной стороне (или к её продолжению). Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром. В зависимости от типа треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный), положение высот и ортоцентра относительно треугольника будет различаться.

1. Остроугольный треугольник: Все углы треугольника меньше 90 градусов. В этом случае все три высоты проходят внутри треугольника, и, следовательно, все высоты принадлежат треугольнику. Ортоцентр тоже находится внутри треугольника.

2. Прямоугольный треугольник: Один угол треугольника равен 90 градусов. В этом случае две из высот совпадают с катетами треугольника, то есть принадлежат треугольнику. Третья высота проведена из вершины прямого угла к противоположной стороне (гипотенузе) и будет находиться внутри треугольника. Таким образом, здесь ситуация следующая: все три высоты либо лежат на сторонах треугольника, либо проходят внутри него.

3. Тупоугольный треугольник: Один угол треугольника больше 90 градусов. В этом случае высота, проведённая из вершины тупого угла, будет направлена наружу треугольника, так как только в этом случае она может быть перпендикулярна противоположной стороне (или её продолжению). Две другие высоты будут начинаться из острых углов и направляться к противоположным сторонам, также пересекающимся вне треугольника. В этой ситуации только одна из высот может лежать внутри самого треугольника (высота, проведённая из одной из вершин с острым углом), тогда как две другие высоты будут находиться за его пределами.

Итак, в случае тупоугольного треугольника ситуация, когда одна высота принадлежит треугольнику, а две другие – нет, возможна и является типичной.