Все ребра прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 равны. Точка P - середина ребра B1C1 призмы. Верно ли, что угол между прямой AP и плоскостью A1B1C1 равен 45 градусов? Ответ поясните.

Да, верно.

Пусть все рёбра призмы равны \(a\). Основание призмы — равносторонний треугольник, а боковые рёбра перпендикулярны основаниям.

Точка \(P\) — середина ребра \(B_1C_1\). Проекция точки \(A\) на плоскость \(A_1B_1C_1\) — это точка \(A_1\). Поэтому угол между прямой \(AP\) и плоскостью \(A_1B_1C_1\) равен углу между \(AP\) и её проекцией \(A_1P\), то есть углу \(APA_1\).

В равностороннем треугольнике \(A_1B_1C_1\) отрезок \(A_1P\) — высота:

\[ A_1P = \frac{a\sqrt{3}}{2} \]

А \(AA_1 = a\). Тогда

\[ \tan \angle APA_1 = \frac{AA_1}{A_1P} = \frac{a}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \]

Это не равно \(1\), значит угол не равен \(45^\circ\).

Ответ: утверждение неверно.

0 0 Пожаловаться