Диагональ прямоугольной трапеции делит её на два прямоугольных равнобедренных треугольника. Найдите площадь трапеции, если большее основание равно 6 см.

Пусть прямоугольная трапеция имеет большее основание $AB=6$ см, меньшее основание $CD$, высоту $AD$. Проведённая диагональ делит её на два прямоугольных равнобедренных треугольника.

Рассмотрим естественный случай, когда диагональ идёт от нижней вершины прямого угла к противоположной верхней вершине. Тогда один из получившихся треугольников имеет катеты, равные меньшему основанию и высоте трапеции.

Обозначим:

Так как этот треугольник прямоугольный равнобедренный, его катеты равны:

Второй треугольник тоже прямоугольный равнобедренный. Его гипотенузой является большее основание трапеции, равное $6$ см. Значит, если его катеты равны, то вершина прямого угла лежит так, что меньшее основание и высота оказываются равными половине большего основания:

То есть меньшее основание трапеции равно $3$ см, а высота тоже равна $3$ см.

Площадь трапеции находится по формуле:

где $a=6$, $b=3$, $h=3$. Тогда:

Ответ: площадь трапеции равна $\boxed{13{,}5\text{ см}^2}$.