Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника равна 12√2 см и делит гипотенузу на отрезки в отношении 3:4. Найдите периметр этого треугольника.

Обозначим катеты \(a\) и \(b\), гипотенузу \(c\). Биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки, пропорциональные катетам, поэтому \(a : b = 3 : 4\) (или наоборот, это не важно). Тогда можно записать \(a = 3k\), \(b = 4k\), а гипотенуза \(c = 5k\) (по теореме Пифагора).

Длина биссектрисы прямого угла вычисляется по формуле: \(l = \frac{ab\sqrt{2}}{a+b}\). Подставляем: \(12\sqrt{2} = \frac{3k \cdot 4k \cdot \sqrt{2}}{3k + 4k} = \frac{12k^2\sqrt{2}}{7k} = \frac{12k\sqrt{2}}{7}\). Сокращаем на \(\sqrt{2}\): \(12 = \frac{12k}{7}\), откуда \(k = 7\).

Периметр \(P = a + b + c = 3k + 4k + 5k = 12k = 12 \cdot 7 = 84\) см.

0 0 Пожаловаться