Длины сторон треугольника KLM равны sin A, sin B, sin C, где A, B, C — величины углов треугольника ABC. Чему равна площадь треугольника ABC, если площадь треугольника KLM = 1/4, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 2?

По теореме синусов для треугольника \(ABC\): \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\).

Тогда стороны: \(a = 2R \sin A\), \(b = 2R \sin B\), \(c = 2R \sin C\).

Стороны треугольника \(KLM\) равны \(\sin A, \sin B, \sin C\). Значит, треугольник \(KLM\) подобен треугольнику \(ABC\) с коэффициентом \(k = \frac{\sin A}{a} = \frac{1}{2R}\).

При \(R = 2\): \(k = \frac{1}{4}\).

Отношение площадей подобных треугольников равно \(k^2\): \(\frac{S_{KLM}}{S_{ABC}} = k^2 = \frac{1}{16}\).

Отсюда \(S_{ABC} = S_{KLM} \cdot 16 = \frac{1}{4} \cdot 16 = 4\).

Ответ: 4.

0 0 Пожаловаться