В каком случае говорят что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A1 B1 и C1 D1

Говорят, что отрезки $AB$ и $CD$ пропорциональны отрезкам $A_1B_1$ и $C_1D_1$, если отношения их длин равны:

Это значит, что каждая пара отрезков связана одним и тем же масштабным коэффициентом. Такой коэффициент часто называют коэффициентом пропорциональности.

Условия, при которых возникает пропорциональность

1. Однородность фигур или подобие: Если отрезки $AB$ и $CD$ принадлежат одной фигуре, а $A_1B_1$ и $C_1D_1$ — другой, и эти фигуры подобны, то соответствующие стороны фигур пропорциональны. Пример — стороны подобных треугольников.

2. Масштабирование: Если фигура (или набор отрезков) подверглась масштабированию с коэффициентом $k$, то любые соответствующие отрезки исходной и увеличенной фигур будут пропорциональны.

3. Проективное преобразование: В случае более сложных геометрических ситуаций, например, в проективной геометрии, пропорциональность может возникать в результате проецирования фигур на различные плоскости.

4. Координатная интерпретация: Если точки $A, B, C, D$ и $A_1, B_1, C_1, D_1$ заданы на одной прямой или в одной системе координат, пропорциональность может быть проверена с использованием координат. Например, для точек на прямой можно проверить, выполняется ли равенство

   $$\frac{|x_B - x_A|}{|x_{B_1} - x_{A_1}|} = \frac{|x_D - x_C|}{|x_{D_1} - x_{C_1}|}.$$

5. Физический смысл: В физике или инженерии отрезки могут быть пропорциональны, если они описывают однотипные величины (например, длины рычагов), масштабируемые в одинаковой пропорции.

Пример

Представим, что отрезки $AB = 4$ см, $CD = 6$ см, $A_1B_1 = 2$ см и $C_1D_1 = 3$ см. Тогда:

В данном случае отрезки пропорциональны, и коэффициент пропорциональности равен 2.

Практическое значение

Понятие пропорциональности широко используется:

• в построении геометрических фигур,
• в вычислении масштабов чертежей и карт,
• в решении задач на подобие фигур,
• в физике для расчёта величин, связанных линейными зависимостями.