В ромбе ABCD диагональ AC = 25, площадь ромба

равна 125. Найдите тангенс угла BAC.

Для решения задачи найдем тангенс угла $\angle BAC$ в ромбе $ABCD$, учитывая следующие данные:

• Диагональ $AC = 25$;
• Площадь ромба равна 125.

Шаг 1: Свойства ромба и формула площади

1. В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Следовательно, каждая половина диагонали $AC$ равна:

   $$\frac{AC}{2} = \frac{25}{2} = 12.5.$$

2. Пусть $BD = 2x$ — длина другой диагонали. Тогда половина этой диагонали равна $x$.

3. Площадь ромба вычисляется через длины диагоналей по формуле:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD.$$

   Подставляя значения, получаем:

   $$125 = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 2x,$$ $$125 = 25x.$$

4. Разделим обе стороны уравнения на 25:

   $$x = 5.$$

5. Полная длина диагонали $BD$ равна:

   $$BD = 2x = 2 \cdot 5 = 10.$$

Шаг 2: Построение прямоугольного треугольника

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, поэтому $AC$ и $BD$ образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой $AB$, где $AB$ — сторона ромба. Половины диагоналей $\frac{AC}{2}$ и $\frac{BD}{2}$ образуют катеты.

Катеты треугольника $\triangle AOB$:

• $\frac{AC}{2} = 12.5$,
• $\frac{BD}{2} = 5$.

Шаг 3: Нахождение тангенса угла $\angle BAC$

Тангенс угла $\angle BAC$ в треугольнике $\triangle AOB$ определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету:

Для угла $\angle BAC$:

• Противолежащий катет: $\frac{BD}{2} = 5$,
• Прилежащий катет: $\frac{AC}{2} = 12.5$.

Подставим значения:

Упростим дробь:

Ответ:

Тангенс угла $\angle BAC$ равен $0.4$.