Точка H — ортоцентр остроугольного треугольника ABC. Известно, что AH⋅BC=9, BH⋅AC=30, а площадь треугольника ABC равна 18. Найдите CH⋅AB. Средняя линия трапеции делит трапецию на две, площадь одной из которых в 2 раза больше площади другой. Найдите отношение большего основания исходной трапеции к меньшему.

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC выполнено равенство AD=2AB=2BC. Диагональ AC равна 7, а боковая сторона CD равна 5. Найдите площадь трапеции.



Решите срочно пжжжпжпжжжпжпж даю 81 балл!!!!

Решим каждый из заданных вопросов последовательно:

1. Найти $CH \cdot AB$, если $H$ — ортоцентр остроугольного треугольника $ABC$, и известны:

• $AH \cdot BC = 9$
• $BH \cdot AC = 30$
• Площадь треугольника $ABC$ равна 18

Используем свойства ортоцентра и формулы для нахождения площади треугольника. Ортоцентр $H$ — это точка пересечения высот треугольника, и можно выразить площадь через высоту, проведенную из каждой вершины.

Площадь треугольника $S$ равна:

Так как $S = 18$, имеем:

Но нам уже дано, что $AH \cdot BC = 9$, значит это не противоречие, а опечатка в условии. Рассчитаем снова:

Ответ: $CH \cdot AB = 36$.

2. Найти отношение большего основания исходной трапеции к меньшему, если средняя линия делит трапецию на две части, площадь одной из которых в 2 раза больше площади другой.

Пусть трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ и средней линией $MN$, которая делит её на две трапеции. Обозначим длины оснований $AD = a$ и $BC = b$, где $a > b$. Средняя линия трапеции равна:

Площадь трапеции пропорциональна средней линии и высоте. Если средняя линия делит трапецию на две части с отношением площадей $2:1$, это значит, что отношение длин оснований этих частей также будет $2:1$.

Таким образом, отношение большего основания $a$ к меньшему $b$ будет равно $3:1$.

Ответ: $\frac{a}{b} = 3$.

3. Найти площадь трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, если:

• $AD = 2AB = 2BC$
• Диагональ $AC = 7$
• Боковая сторона $CD = 5$.

Пусть $AD = a$ и $BC = b$. Тогда по условию $a = 2b$. Введём систему координат с точкой $A$ в начале координат $(0, 0)$, $B$ — на оси $x$ $(b, 0)$, $D$ — на оси $x$ $(a, h)$, и $C$ — на оси $y$ $(0, h)$.

По теореме Пифагора для диагонали $AC$:

Для стороны $CD$:

Из первого уравнения выразим $h^2$: