2. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 4 см , а апофема образует с плоскостью основания угол в 60 °. Найдите площадь полной поверхности пирамиды .

Чтобы найти площадь полной поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, начнем с её разбора по шагам:

Дано:

• Сторона основания $a = 4$ см.
• Апофема образует с плоскостью основания угол $\alpha = 60^\circ$.

Шаг 1: Найдём высоту пирамиды ($h$)

Апофема ($l$) — это высота боковой грани пирамиды, опущенная из вершины на сторону основания. Она связана с высотой пирамиды $h$ и радиусом описанной окружности основания ($R$) через прямоугольный треугольник.

Радиус описанной окружности основания для квадрата равен половине его диагонали:

В прямоугольном треугольнике, где апофема — гипотенуза, угол $\alpha = 60^\circ$, а прилежащий катет — радиус описанной окружности:

Отсюда находим апофему $l$:

Теперь высота пирамиды ($h$) найдётся через тот же треугольник:

Отсюда:

Шаг 2: Площадь основания ($S_\text{осн}$)

Основание пирамиды — квадрат со стороной $a = 4$. Его площадь:

Шаг 3: Площадь боковых граней ($S_\text{бок}$)

Пирамида имеет 4 боковые грани, каждая из которых — равнобедренный треугольник с основанием $a = 4$ и высотой (апофемой) $l = 4\sqrt{2}$.

Площадь одной боковой грани:

Четыре такие грани дают общую площадь боковых граней:

Шаг 4: Полная площадь поверхности ($S_\text{полн}$)

Суммируем площадь основания и боковых граней:

Ответ:

Площадь полной поверхности пирамиды равна: