Помогите, пожалуйста, решить задачки по геометрии.
• Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 20, а радиус описанной окружности этого треугольника равен 12,5. Найдите длину основания этого треугольника.
• Площадь ромба равна 240, а одно из его диагоналей равна 16. Найдите периметр ромба.
• Сторона квадрата ABCD равна 1,3. Найдите скалярное произведение векторов AB и BD.

Давайте пошагово решим каждую из этих геометрических задач.

Задача 1: Равнобедренный треугольник

Для равнобедренного треугольника с боковыми сторонами длиной 20 и радиусом описанной окружности 12,5, нам нужно найти длину основания.

Для равнобедренного треугольника верно, что центр описанной окружности находится на медиане, высоте и биссектрисе, проведенной из вершины, противоположной основанию. Эта медиана также является радиусом окружности. В таком случае, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения основания.

Пусть $x$ - длина половины основания. Тогда $20^2 = 12,5^2 + x^2$. Решим это уравнение:

$x^2 = 20^2 - 12,5^2$ $x = \sqrt{20^2 - 12,5^2}$

После нахождения $x$, удвоим его, чтобы получить полную длину основания.

Задача 2: Ромб

Площадь ромба равна 240, а одна из диагоналей равна 16. Формула площади ромба через диагонали: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$, где $d_1$ и $d_2$ - диагонали. Нам известно, что $S = 240$ и $d_1 = 16$. Найдем $d_2$:

$240 = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot d_2$ $d_2 = \frac{480}{16}$

После нахождения $d_2$, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины стороны ромба, так как половины диагоналей и сторона ромба образуют прямоугольный треугольник. Пусть $a$ - сторона ромба:

$a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2$

После нахождения $a$, умножаем его на 4, чтобы получить периметр.

Задача 3: Скалярное произведение векторов

В квадрате ABCD со стороной 1,3 нам нужно найти скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BD}$.

Скалярное произведение двух векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ определяется как $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos(\theta)$, где $\theta$ - угол между векторами.

В нашем случае, векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BD}$ образуют угол в 45 градусов, так как $\overrightarrow{BD}$ - диагональ квадрата. Таким образом, длина каждого вектора равна 1,3, а $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Скалярное произведение:

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BD} = 1,3 \cdot 1,3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь давайте вычислим численные ответы для каждой задачи.