Две окружности радиуса 32 с центрами О1 и О2, пересекаясь, делят отрезок О1О2 на три равные части. Найти радиус окружности, которая касается изнутри обеих данных окружностей и касается отрезка О1О2.

Давайте разберём задачу шаг за шагом.

Дано:

• Две окружности с радиусами $R_1 = R_2 = 32$, центры $O_1$ и $O_2$.

• Они пересекаются, и отрезок $O_1O_2$ делится точками пересечения на три равные части.

• Нужно найти радиус $r$ окружности, которая касательно вписана между этими окружностями и отрезком $O_1O_2$.

Шаг 1: Определим расстояние между центрами

Пусть $d = O_1O_2$. Точки пересечения делят $O_1O_2$ на три равные части.

• Обозначим точки пересечения $A$ и $B$.

• Тогда $O_1A = AB = BO_2 = \frac{d}{3}$.

Для пересечения двух окружностей радиуса $R$ расстояние между центрами $d$ связано с расстоянием между точками пересечения.

Если провести линию через центры и точки пересечения, получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой $R$ и одной стороной $d/2$ (так как точки пересечения симметрично относительно линии центров).

В нашем случае, отрезок между точками пересечения $AB = d/3$, а перпендикуляр к линии центров — это расстояние от линии центров до точек пересечения.

Но для построения внутренней касательной окружности проще воспользоваться методом гомотетии.

Шаг 2: Используем метод гомотетии

Мы ищем окружность радиуса $r$, которая:

1. Касается обеих больших окружностей изнутри.

2. Касается отрезка $O_1O_2$.

Если окружность касается обеих больших окружностей изнутри, её центр лежит на линии между центрами $O_1O_2$.

Пусть расстояние от $O_1$ до центра искомой окружности = $x$. Тогда расстояние от центра новой окружности до $O_1$ = $R_1 - r = 32 - r$.
Расстояние до $O_2$ = $R_2 - r = 32 - r$.

Пусть $O_1O_2 = d$. Центр новой окружности делит отрезок $O_1O_2$ так, что:

(симметрично между центрами, потому что окружности равны).

Тогда:

Шаг 3: Определим $d$

Отрезок $O_1O_2$ делится точками пересечения на три равные части:

Расстояние между центрами и точкой пересечения образует прямоугольный треугольник:

• Гипотенуза = $R = 32$

• Катет вдоль линии центров = $d/2$

Почему $d/2$? Точки пересечения делят $O_1O_2$ на три части, так что расстояние от центра до ближайшей точки пересечения = $d/3$.

Перпендикулярная сторона:

Но для нашей задачи нужен только длина отрезка центров, чтобы найти $r$. Мы знаем, что центр вписанной окружности находится в середине отрезка между точками, то есть $x = d/2$.

Задаём систему:

• Расстояние между центрами: $d = ?$

• Новая окружность радиус $r = 32 - d/2$

Но известно классическое решение:

Если две равные окружности пересекаются так, что отрезок центров делится точками пересечения на три равные части, то расстояние между центрами:

Шаг 4: Находим радиус внутренней окружности

Используем формулу: