В правильный тетраэдр SABC с ребром 4 см вписан правильный октаэдр NPFMKR, где точки N,P,F,M,K,R середины ребер тетраэдра соответственно AS, SB, SC, AC, AB, CB. Найдите длину всех рёбер октаэдра.

Ребро правильного тетраэдра равно $4$ см. Точки $N, P, F, M, K, R$ — середины его рёбер, поэтому рёбра вписанного октаэдра соединяют середины соседних рёбер тетраэдра.

Рассмотрим, например, грань $ASB$. Это равносторонний треугольник со стороной

Точка $N$ — середина ребра $AS$, точка $P$ — середина ребра $SB$, точка $K$ — середина ребра $AB$. Тогда отрезок $NP$ является средней линией треугольника $ASB$, поэтому он параллелен $AB$ и равен половине $AB$:

Точно так же на каждой грани тетраэдра отрезки, соединяющие середины двух сторон, являются средними линиями. Поэтому все такие отрезки имеют длину $2$ см.

Рёбра октаэдра можно перечислить так:

Ответ: длина каждого ребра вписанного октаэдра равна $2$ см.