Точки А і В лежать у двох взаємно перпендикулярних площинах. Відрізок АВ утворює з цими площинами кути 30° і 45°. Знайти відстань між основами перпендикулярів, проведених з точок А і В до лінії перетину площин, якщо АВ = 8 см.

Нехай площини $\alpha$ і $\beta$ взаємно перпендикулярні, а пряма $l$ — їхня лінія перетину.

Позначимо через $A_1$ і $B_1$ основи перпендикулярів, проведених відповідно з точок $A$ і $B$ до прямої $l$. Потрібно знайти $A_1B_1$.

Оскільки $AB=8$ см і відрізок $AB$ утворює з площинами кути $30^\circ$ і $45^\circ$, складові відрізка, перпендикулярні до цих площин, дорівнюють:

Через взаємну перпендикулярність площин ці дві складові та відстань $A_1B_1$ є попарно перпендикулярними. Тому за просторовою теоремою Піфагора:

Підставляємо значення:

Отже,