Прямая a параллельна плоскости α. Верно ли утверждение, что любая прямая плоскости α параллельна прямой a?

Нет, утверждение неверно.

Из того, что прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, следует только, что прямая $a$ не пересекает эту плоскость. В плоскости $\alpha$ могут быть прямые разных направлений.

Параллельными прямой $a$ будут лишь те прямые плоскости $\alpha$, которые имеют с ней одно направление. Остальные прямые этой плоскости не пересекают $a$, но и не являются с ней параллельными: они будут скрещивающимися с прямой $a$.

Например, если $a$ направлена горизонтально и расположена над плоскостью $\alpha$, то в плоскости $\alpha$ найдутся горизонтальные прямые, параллельные $a$, а также прямые другого направления — например, перпендикулярные этим горизонтальным. Такие прямые с $a$ будут скрещивающимися.

Верно другое утверждение: в плоскости, параллельной данной прямой, через каждую точку можно провести единственную прямую, параллельную этой прямой.