ПОСТРОИТЬ УГОЛ РАВНЫЙ 105 ГРАДУСАМ ПРИ ПОМОЩИ ЦИРКУЛЯ И  ЛИНЕЙКИ.

Пусть дана вершина угла (O) и луч (OA).

1. Продлите луч (OA) в прямую и отметьте на противоположной стороне точку (B) так, чтобы (OB=OA).

2. Постройте перпендикуляр к прямой (AB) в точке (O).
   Для этого из точек (A) и (B) одинаковым радиусом проведите дуги, пересекающиеся над прямой (AB) в точке (C). Проведите луч (OC). Тогда
   [
   \angle AOC=90^\circ.
   ]

3. На отрезке (OB) постройте равносторонний треугольник (OBD) в той же полуплоскости, где находится луч (OC). Тогда
   [
   \angle BOD=60^\circ.
   ]
   Так как (A, O, B) лежат на одной прямой, получаем:
   [
   \angle AOD=180^\circ-60^\circ=120^\circ.
   ]

4. Теперь между лучами (OC) и (OD) получился угол:
   [
   \angle COD=120^\circ-90^\circ=30^\circ.
   ]

5. Разделите угол (COD) пополам. Для этого:

   • проведите дугу с центром в (O), пересекающую лучи (OC) и (OD) в точках (E) и (F);

   • из точек (E) и (F) одинаковым радиусом проведите дуги, которые пересекутся внутри угла в точке (G);

   • проведите луч (OG).

Луч (OG) делит угол (COD) пополам, поэтому
[
\angle COG=15^\circ.
]

Следовательно,
[
\angle AOG=\angle AOC+\angle COG=90^\circ+15^\circ=105^\circ.
]

Итак, угол (AOG) — искомый угол (105^\circ).