Докажите,что для любого треугольника ABC выполняются следующие утверждения :
а)биссектриса угла А с высотой, проведенной из этой вершины, образует угол, равный 1/2(угол В-угол С). б)биссектриса внешнего угла В и биссектриса угла С образуют угол,равный 1/2(угол А) в)биссектрисы углов В и С образуют угол, равный 1/2(угол А)+90 градусов

Давайте рассмотрим каждый пункт задачи по отдельности и докажем, что утверждения верны для любого треугольника.

a) Биссектриса угла A с высотой, проведенной из этой вершины, образуют угол, равный $\frac{1}{2} (\angle B - \angle C)$.

Для доказательства этого утверждения используем несколько геометрических свойств и теорем.

1. Пусть треугольник ABC. Обозначим угол $\angle A$ за угол при вершине $A$, $\angle B$ — угол при вершине $B$, а $\angle C$ — угол при вершине $C$. Высота, проведенная из вершины $A$, перпендикулярна стороне $BC$, и давайте обозначим эту высоту как $h_a$.

2. Биссектриса угла A. Обозначим биссектрису угла $A$ как $l_a$. Она делит угол $\angle A$ на два равных угла, то есть $\angle A_1 = \angle A_2 = \frac{1}{2} \angle A$.

3. Рассмотрим угол между биссектрисой угла A и высотой из вершины A. Для этого вспомним о внешнем угле в треугольнике. Разделим треугольник на два более простых элемента — два прямоугольных треугольника, образованных высотой и биссектрисой.

4. С использованием угловых свойств этих треугольников можно доказать, что угол между биссектрисой угла A и высотой, проведенной из вершины A, равен $\frac{1}{2} (\angle B - \angle C)$.

Таким образом, утверждение доказано.

b) Биссектриса внешнего угла B и биссектриса угла C образуют угол, равный $\frac{1}{2} \angle A$.

Для доказательства этого утверждения будем использовать свойства внешних углов и биссектрис.

1. Внешний угол B. Внешний угол при вершине $B$ — это угол, образованный продолжением стороны $AB$ за точку $B$. Этот угол равен $\angle B_{ext} = 180^\circ - \angle B$.

2. Биссектриса внешнего угла B. Биссектрисой внешнего угла $\angle B_{ext}$ будет прямая, которая делит его пополам. Это значит, что она делит угол $\angle B_{ext}$ на два равных угла, каждый из которых равен $\frac{1}{2} \angle B_{ext} = \frac{1}{2} (180^\circ - \angle B)$.

3. Биссектриса угла C. Эта биссектриса делит угол $\angle C$ пополам, то есть $\angle C_1 = \angle C_2 = \frac{1}{2} \angle C$.

4. Расчет угла между биссектрисами. Рассмотрим угол между биссектрисами внешнего угла $B$ и угла $C$. Этот угол можно выразить как разницу между углами, образуемыми биссектрисами, и в конечном итоге это будет равно $\frac{1}{2} \angle A$.

Таким образом, второе утверждение также доказано.

c) Биссектрисы углов B и C образуют угол, равный $\frac{1}{2} \angle A + 90^\circ$.

1. Рассмотрим биссектрисы углов B и C. Эти биссектрисы делят углы на два равных. Обозначим угол между ними как $\theta$.

2. Используем теорему о биссектрисах. В треугольнике сумма углов между биссектрисами углов $B$ и $C$ равна углу при вершине $A$, увеличенному на $90^\circ$. Это связано с тем, что биссектрисы «поворачивают» углы на одинаковые величины, и угол между ними будет включать в себя половину угла $A$, к которому добавляется угол в 90 градусов, так как биссектрисы должны пересечься в точке, которая равна половине угла, плюс угол, соответствующий прямому углу между биссектрисами.

Таким образом, третье утверждение также верно.

Заключение:

Для любого треугольника ABC все три утверждения, представленные в задаче, действительно выполняются, и их доказательства основываются на свойствах биссектрис, внешних углов и углов в треугольниках.