В основании прямого параллелепипеда лежит ромб. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если площади его диагональных сечений равны P и Q.

Обозначим сторону ромба через (a), высоту прямого параллелепипеда через (h), а диагонали основания — через (d_1) и (d_2).

Диагональное сечение прямого параллелепипеда, проведённое через диагональ основания, является прямоугольником. Поэтому площади двух диагональных сечений равны:

[
d_1h=P,\qquad d_2h=Q.
]

Площадь боковой поверхности равна периметру основания, умноженному на высоту:

[
S_{\text{бок}}=4ah.
]

У ромба диагонали связаны со стороной равенством:

[
d_1^2+d_2^2=4a^2.
]

Умножим это равенство на (h^2):

[
d_1^2h^2+d_2^2h^2=4a^2h^2.
]

С учётом (d_1h=P) и (d_2h=Q) получаем:

[
P^2+Q^2=(2ah)^2.
]

Следовательно,

[
2ah=\sqrt{P^2+Q^2}.
]

Тогда

[
S_{\text{бок}}=4ah=2\sqrt{P^2+Q^2}.
]

[
\boxed{S_{\text{бок}}=2\sqrt{P^2+Q^2}}
]