1)Найти объем прямоугольного параллелепипеда, если площади трех его граней 2 см^2, 3 cм^2, 6 cм^2.
2)Найти объем куба, если площадь поверхности 150 см^2.
3) В основании прямого параллелепипеда лежит ромб, меньшая диагональ которого 6 см, а острый угол составляет 60 градусов, бок.ребро параллелепипеда в 2 раза меньше стороны основания. Найти объем параллелепипеда.
Можете плиз с оформление скинуть))))

Задача 1

Найти объем прямоугольного параллелепипеда, если площади трех его граней: $S_1 = 2 \, \text{см}^2$, $S_2 = 3 \, \text{см}^2$, $S_3 = 6 \, \text{см}^2$.

Решение:

1. Пусть длины сторон параллелепипеда равны $a, b, c$. Тогда:

   $$S_1 = ab, \quad S_2 = bc, \quad S_3 = ac.$$

2. Объем параллелепипеда равен:

   $$V = a \cdot b \cdot c.$$

3. Перемножим площади граней:

   $$S_1 \cdot S_2 \cdot S_3 = (ab) \cdot (bc) \cdot (ac) = (a^2 b^2 c^2).$$

   Тогда:

   $$a^2 b^2 c^2 = S_1 \cdot S_2 \cdot S_3 = 2 \cdot 3 \cdot 6 = 36.$$

4. Извлечем квадратный корень:

   $$abc = \sqrt{36} = 6.$$

   Следовательно, объем:

   $$V = 6 \, \text{см}^3.$$

Задача 2

Найти объем куба, если площадь его поверхности $S = 150 \, \text{см}^2$.

Решение:

1. Площадь поверхности куба выражается формулой:

   $$S = 6a^2,$$

   где $a$ — длина ребра куба.

2. Найдем $a^2$:

   $$a^2 = \frac{S}{6} = \frac{150}{6} = 25.$$

3. Извлечем квадратный корень:

   $$a = \sqrt{25} = 5 \, \text{см}.$$

4. Объем куба равен:

   $$V = a^3 = 5^3 = 125 \, \text{см}^3.$$

Задача 3

В основании прямого параллелепипеда лежит ромб, меньшая диагональ которого $d_1 = 6 \, \text{см}$, а острый угол составляет $60^\circ$. Боковое ребро параллелепипеда в 2 раза меньше стороны основания. Найти объем параллелепипеда.

Решение:

1. Площадь ромба выражается формулой:

   $$S_{\text{ромба}} = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2,$$

   где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба.

2. Выразим вторую диагональ. Сторона ромба $a$ связана с диагоналями формулой:

   $$a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2}.$$

   Так как острый угол $60^\circ$, сторона основания:

   $$a = \frac{d_1}{2} \cdot \frac{1}{\sin 60^\circ} = \frac{6}{2} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 3 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \, \text{см}.$$