For the geometric series a + ar + ar² + … the sum of the first two terms is 24 and the sum to infinity is 27. Show that r = ±1/3.

Дана геометрическая прогрессия:

Из условия:

Сумма первых двух членов равна 24:

Выносим $a$ за скобки:

Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 27:

(Для суммы до бесконечности необходимо, чтобы $|r|<1$.)

Из первого уравнения выразим $a$:

Подставим это во второе уравнение:

Получаем:

Используем формулу разности квадратов:

Тогда:

Умножим обе части на $1-r^2$:

Раскроем скобки:

Перенесём 27 в левую часть:

Разделим на $-27$:

Следовательно:

Таким образом, знаменатель геометрической прогрессии может быть равен $\frac13$ или $-\frac13$.