Диагональ основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 6 дм, её боковая грань образует с

Ответы на вопрос

Отвечает Вербилова Полина.

Дана правильная четырёхугольная пирамида, то есть в основании лежит квадрат, а вершина находится над центром квадрата.

1. Найдём сторону основания.

Диагональ квадрата равна $6$ дм. Для квадрата:

d = a 2

откуда

a = \frac{6}{2} = 32 дм

Площадь основания:

S = a^{2} = (32)^{2} = 18 дм^{2}

2. Найдём высоту пирамиды.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды, центр основания и середину стороны квадрата.

Пусть:

Отрезок $OM$ равен половине стороны квадрата:

OM = \frac{a}{2} = \frac{3 2}{2}

Угол между боковой гранью и основанием равен $3 0^{\circ}$ . В рассматриваемом сечении это угол между $A M$ и $OM$ , поэтому:

tan 3 0^{\circ} = \frac{A O}{OM}

Высота пирамиды $A O = h$ , значит:

h = OM tan 3 0^{\circ}

Так как

tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3},

получаем:

h = \frac{3 2}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3 6}{6}

3. Найдём объём пирамиды.

Формула объёма пирамиды:

V = \frac{1}{3} S h

Подставляем:

V = \frac{1}{3} \cdot 18 \cdot \frac{3 6}{6}

V = 6 \cdot \frac{3 6}{6} = 36

Следовательно, объём пирамиды равен:

36 дм^{3}

Диагональ основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 6 дм, её боковая грань образует с плоскостью основания угол 30°. Найдите объём пирамиды.