На окружности основания конуса с вершиной S отмечены точки A, B и C так, что AB = BC. Медиана AM треугольника ACS пересекает высоту конуса.
а) Точка N — середина отрезка AC. Докажите, что угол MNB прямой.
б) Найдите угол между прямыми AM и SB, если AS = 2, AC = 6.

а) Доказательство того, что $\angle MNB=90^\circ$

Обозначим через $SO$ высоту конуса, где $O$ — центр его основания. По условию медиана $AM$ треугольника $ACS$ пересекает высоту $SO$.

Прямая $AM$ лежит в плоскости $ACS$. Точка $S$ также принадлежит этой плоскости. Поэтому высота $SO$, имеющая с плоскостью $ACS$ две общие точки, целиком лежит в плоскости $ACS$.

Следовательно, центр основания $O$ принадлежит линии пересечения плоскости $ACS$ с плоскостью основания. Этой линией является $AC$. Значит, $O\in AC$, а так как $A$ и $C$ лежат на окружности основания, отрезок $AC$ является диаметром основания.

Точка $N$ — середина $AC$, поэтому она совпадает с центром основания:

Таким образом, $SN$ — высота конуса.

В треугольнике $ABC$

поэтому он равнобедренный с основанием $AC$. Отрезок $BN$, проведённый к середине основания, является высотой:

Кроме того, $BN$ лежит в плоскости основания конуса, а высота конуса $SN$ перпендикулярна всей плоскости основания. Поэтому

Прямые $AC$ и $SN$ пересекаются и лежат в плоскости $ACS$. Поскольку $BN$ перпендикулярна обеим этим прямым, то

Отрезок $MN$ лежит в плоскости $ACS$, следовательно,

Значит,

б) Нахождение угла

В записанном условии указано:

Однако из пункта а) следует, что $AC$ — диаметр основания. Тогда радиус основания равен

Треугольник $ASN$ прямоугольный, поэтому

Отсюда

то есть $AS\geqslant3$, что противоречит условию $AS=2$. Следовательно, при $AC=6$ такого конуса не существует и искомый угол не определён.

Вероятно, в условии пропущен знак корня и должно быть

Для этого корректного варианта решение следующее.

Все образующие конуса равны, поэтому

Пусть $K$ — середина $BC$. В треугольнике $BCS$ точки $M$ и $K$ являются серединами сторон $CS$ и $CB$. Следовательно, $MK$ — средняя линия:

Поэтому угол между прямыми $AM$ и $SB$ равен углу $\angle AMK$.

Найдём стороны треугольника $AMK$.

По формуле медианы в треугольнике $ACS$:

Подставляем $AS=CS=2$, $AC=\sqrt6$:

Значит,