Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны. Основания равны 24 и 40 см. Вычислите её площадь.

Пусть основания равнобедренной трапеции равны $24$ см и $40$ см, а её высота равна $h$.

Так как трапеция равнобедренная, меньшее основание расположено симметрично относительно большего. Разность оснований:

Значит, с каждой стороны «свес» большего основания составляет

Рассмотрим диагонали трапеции. Горизонтальная проекция каждой диагонали равна

Удобно представить трапецию в координатах: концы нижнего основания — $(-20;0)$ и $(20;0)$, а верхнего — $(-12;h)$ и $(12;h)$.

Тогда направляющие векторы диагоналей можно записать как

и

По условию диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому скалярное произведение этих векторов равно нулю:

Отсюда

следовательно,

Теперь найдём площадь трапеции:

Подставляем значения:

Ответ: $1024{\text{ см}}^2$.