Высота, опущенная на гипотенузу треугольника, делит его на два треугольника, площади которых 6 и 54. Найдите гипотенузу большого треугольника.

Пусть высота, опущенная на гипотенузу, делит её на отрезки $x$ и $y$.

Получившиеся два треугольника имеют одинаковую высоту, поэтому их площади относятся так же, как основания:

Значит,

Для прямоугольного треугольника высота $h$, проведённая к гипотенузе, удовлетворяет свойству:

Поэтому

откуда

Используем площадь меньшего треугольника:

Подставляем $h=3x$:

Тогда второй отрезок гипотенузы:

Следовательно, вся гипотенуза большого треугольника равна

Ответ: 20.