Докажите, что высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, делит треугольник на два подобных треугольника.

Для доказательства того, что высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, делит его на два подобных треугольника, рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, где угол $\angle ABC = 90^\circ$. Пусть $h$ — это высота, опущенная из вершины $B$ на гипотенузу $AC$.

1. Обозначим точки пересечения высоты с гипотенузой: пусть точка пересечения высоты и гипотенузы — это точка $D$, тогда $AD$ и $DC$ — это две части гипотенузы, на которые высота делит гипотенузу.

2. Рассмотрим треугольники $ABD$, $BDC$ и $ABC$. Нам нужно доказать, что треугольники $ABD$ и $BDC$ подобны треугольнику $ABC$.

3. В треугольниках $ABD$, $BDC$ и $ABC$ угол $\angle ABD = \angle ABC = 90^\circ$, так как высота $h$ перпендикулярна гипотенузе.

4. Далее, в треугольнике $ABD$ угол $\angle DAB$ равен углу $\angle ABC$ в треугольнике $ABC$, так как это общие углы.

5. Точно так же в треугольнике $BDC$ угол $\angle DCB$ равен углу $\angle ABC$ в треугольнике $ABC$, так как это также общие углы.

6. Таким образом, каждый из малых треугольников (и $ABD$, и $BDC$) имеет по одному общему углу с большим треугольником $ABC$, а также все они содержат прямой угол. Это доказывает, что треугольники $ABD$ и $BDC$ подобны треугольнику $ABC$ по признаку подобия треугольников (по двум углам).

Таким образом, высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, действительно делит его на два подобных треугольника.