Все двугранные углы при основании тетраэдра равны по 60°. Стороны основания равны 20 см, 21 см, 29 см. Найдите площадь боковой поверхности тетраэдра.

Пусть $ABC$ — основание тетраэдра, а $D$ — его вершина. Стороны основания равны

Все двугранные углы между боковыми гранями и плоскостью основания равны $60^{\circ }$.

Опустим из вершины $D$ перпендикуляр $DO$ на плоскость основания. Рассмотрим расстояния от точки $O$ до сторон основания. Для каждой стороны в сечении плоскостью, перпендикулярной этой стороне, получаем прямоугольный треугольник, в котором

где $d$ — расстояние от $O$ до соответствующей стороны основания.

Так как высота $DO$ одна и та же, а все двугранные углы равны $60^{\circ }$, расстояния от $O$ до всех трёх сторон основания одинаковы. Значит, $O$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$, а эти расстояния равны радиусу $r$ вписанной окружности.

Найдём площадь основания по формуле Герона. Полупериметр:

Тогда

С другой стороны,

поэтому

Теперь найдём высоты боковых граней, проведённые к сторонам основания. Если $l$ — такая высота, то в соответствующем сечении

Следовательно,

Таким образом, все три боковые грани имеют высоту $12$ см к соответствующим сторонам основания.

Площадь боковой поверхности:

Выносим общий множитель: