Прямая AM перпендикулярна к плоскости квадрата ABCD, диагонали которого пересекаются в точке O. Докажите, что: а) прямая BD перпендикулярна к плоскости AMO; б) MO перпендикулярна BD. (По данному чертежу)

Дано: $ABCD$ — квадрат, его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Прямая $AM$ перпендикулярна плоскости квадрата $ABCD$. Нужно доказать:

а) $BD\perp$ плоскости $AMO$;

б) $MO\perp BD$.

а) Докажем, что $BD$ перпендикулярна плоскости $AMO$

Так как $ABCD$ — квадрат, то его диагонали перпендикулярны:

Точка $O$ лежит на диагонали $AC$, значит прямая $AO$ является частью прямой $AC$. Поэтому:

Теперь рассмотрим прямую $AM$. По условию:

Это означает, что прямая $AM$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости квадрата и проходящей через точку $A$. Прямая $BD$ лежит в плоскости квадрата, поэтому:

Получили, что прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AM$ и $AO$, которые лежат в плоскости $AMO$.

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Следовательно:

Что и требовалось доказать.

б) Докажем, что $MO\perp BD$

Из пункта а) мы уже доказали:

Прямая $MO$ лежит в плоскости $AMO$, так как точки $M$ и $O$ принадлежат этой плоскости.

По свойству перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Так как:

и

то:

или, что то же самое:

Следовательно, оба утверждения доказаны.