В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 8 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45 градусов. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду. В основании находится квадрат со стороной $8$ см.

Обозначим:

• $O$ — центр основания;

• $A$ — вершина пирамиды;

• $B$ — вершина квадрата основания;

• $AB$ — боковое ребро.

Так как пирамида правильная, высота $AO$ проходит через центр основания.

Дано, что боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом $45^{\circ }$. Это означает, что в прямоугольном треугольнике $AOB$:

Так как треугольник прямоугольный ($\angle AOB=90^{\circ }$) и один из острых углов равен $45^{\circ }$, он является равнобедренным:

Найдём $OB$. Это расстояние от центра квадрата до его вершины, то есть половина диагонали квадрата.

Диагональ основания:

Тогда:

Следовательно, высота пирамиды:

Теперь найдём апофему пирамиды (высоту боковой грани). Пусть $M$ — середина стороны основания. Тогда:

В прямоугольном треугольнике $AOM$:

Площадь одной боковой грани — равнобедренного треугольника со стороной основания $8$ см и высотой $4\sqrt{3}$:

У пирамиды четыре одинаковые боковые грани, поэтому площадь боковой поверхности:

Ответ: