В треугольник вписали параллелограмм. Две вершины параллелограмма делят стороны треугольника на 4 отрезка, три из которых имеют длины 3, 5 и 2. Найдите длину четвёртого отрезка.

Обозначим треугольник $ABC$. Пусть вершина параллелограмма совпадает с вершиной $A$, а две другие вершины лежат на сторонах $AB$ и $AC$. Тогда эти стороны треугольника делятся на четыре отрезка.

Пусть на стороне $AB$ получились отрезки $x$ и $y$, а на стороне $AC$ — $m$ и $n$.

Так как стороны параллелограмма параллельны, получается подобие маленького треугольника у вершины $A$ и всего треугольника:

После перемножения:

Раскрываем скобки:

Сокращаем $xm$:

То есть произведения «крест-накрест» равны.

Из условия три отрезка равны $3$, $5$ и $2$. В стандартной схеме (когда на одной стороне стоят отрезки $3$ и $5$, а на другой — $2$ и неизвестный $a$) получаем:

Следовательно, длина четвертого отрезка:

или примерно $3,33$.