Высота правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 1, а сторона основания равна 2. Найдите расстояние от точки A1 до прямой BC1.

Расположим призму в координатах. Пусть основание лежит в плоскости \(z=0\):

\[A(0;0;0),\quad B(2;0;0),\quad C(1;\sqrt3;0)\]

Высота призмы равна \(1\), значит:

\[A_1(0;0;1),\quad C_1(1;\sqrt3;1)\]

Нужно найти расстояние от точки \(A_1\) до прямой \(BC_1\).

Векторы:

\[\overrightarrow{BA_1}=(-2;0;1),\quad \overrightarrow{BC_1}=(-1;\sqrt3;1)\]

Расстояние от точки до прямой:

\[d=\frac{|\overrightarrow{BA_1}\times \overrightarrow{BC_1}|}{|\overrightarrow{BC_1}|}\]

Находим длины:

\[|\overrightarrow{BA_1}\times \overrightarrow{BC_1}|=\sqrt{19},\quad |\overrightarrow{BC_1}|=\sqrt5\]

Тогда:

\[d=\frac{\sqrt{19}}{\sqrt5}=\frac{\sqrt{95}}{5}\]

Ответ: \(\frac{\sqrt{95}}{5}\).

0 0 Пожаловаться