В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно l, а плоский угол при вершине — альфа. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

В правильной четырёхугольной пирамиде основание — квадрат, а все боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

Боковая грань имеет две стороны по \(l\), а угол между ними равен \(\alpha\). Площадь одной боковой грани:

\[S_1=\frac12 l^2\sin\alpha\]

Таких граней \(4\), значит боковая поверхность:

\[S_{бок}=4\cdot \frac12 l^2\sin\alpha=2l^2\sin\alpha\]

Сторона основания:

\[a=2l\sin\frac{\alpha}{2}\]

Площадь основания:

\[S_{осн}=a^2=4l^2\sin^2\frac{\alpha}{2}\]

Полная поверхность:

\[S_{полн}=2l^2\sin\alpha+4l^2\sin^2\frac{\alpha}{2}\]

Ответ: \(S_{полн}=2l^2\sin\alpha+4l^2\sin^2\frac{\alpha}{2}\).

0 0 Пожаловаться