1. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O. SA — перпендикуляр к плоскости ромба. SA = 3√3 см, AC = 6 см, BD = 8 см.
а) Докажите, что прямая BD перпендикулярна к плоскости SAO.
б) Найдите |SD + 1/2(DA + DC)| (здесь векторы).
в) Найдите двугранный угол SDBA.
2. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен 120 градусов. Отрезок, соединяющий основание высоты пирамиды с серединой бокового ребра, равен 3 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

1а. В ромбе диагонали перпендикулярны, значит \(BD \perp AC\). Точка \(O\) лежит на \(AC\), поэтому \(BD \perp AO\). Также \(SA \perp (ABCD)\), значит \(SA \perp BD\). Прямая \(BD\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(SA\) и \(AO\), лежащим в плоскости \(SAO\). Поэтому \(BD \perp (SAO)\).

1б. Так как \(O\) — середина диагонали \(AC\), то

\[\frac12(\vec{DA}+\vec{DC})=\vec{DO}.\]

Тогда

\[\vec{SD}+\frac12(\vec{DA}+\vec{DC})=\vec{SD}+\vec{DO}=\vec{SO}.\]

Найдём \(SO\). Имеем \(AO=\frac{AC}{2}=3\), \(SA=3\sqrt3\), причём \(SA \perp AO\). Тогда

\[SO=\sqrt{SA^2+AO^2}=\sqrt{(3\sqrt3)^2+3^2}=\sqrt{27+9}=6.\]

Ответ: \(6\) см.

1в. Двугранный угол \(SDBA\) — это угол между плоскостями \(SDB\) и \(DBA\) по ребру \(DB\). Так как \(BD \perp (SAO)\), линейный угол этого двугранного угла равен \(\angle SOA\).

В прямоугольном треугольнике \(SAO\):

\[\cos \angle SOA=\frac{AO}{SO}=\frac{3}{6}=\frac12.\]

Значит, \(\angle SOA=60^\circ\). Ответ: \(60^\circ\).

2. В условии, скорее всего, есть ошибка. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине — это угол между двумя боковыми рёбрами, например \(\angle ASB\).

Если \(\angle ASB=120^\circ\), то по теореме косинусов для боковой грани:

\[AB^2=SA^2+SB^2-2\cdot SA\cdot SB\cos120^\circ=3SA^2.\]

Значит, \(AB=SA\sqrt3\). Но у равностороннего основания радиус описанной окружности равен \(R=\frac{AB}{\sqrt3}=SA\). Тогда боковое ребро \(SA\) равно расстоянию от центра основания до вершины основания, то есть высота пирамиды получается равной \(0\). Это уже не настоящая пирамида.

Поэтому для обычной, недегенеративной пирамиды такая задача не имеет решения: площадь полной поверхности по этим данным определить нельзя.

0 0 Пожаловаться