Из точки C окружности проведён перпендикуляр CD к диаметру AB. Докажите, что CD² = AD · BD, используя:
1. Свойство высоты в прямоугольном треугольнике.
2. Свойство хорд.
3. Свойство треугольника.

1. Через свойство высоты в прямоугольном треугольнике.

Так как \( AB \) — диаметр окружности, то угол \( ACB \) прямой. Значит, \( \triangle ABC \) — прямоугольный, а \( CD \) — высота, проведённая к гипотенузе \( AB \).

По свойству высоты в прямоугольном треугольнике:

\[ CD^2 = AD \cdot BD. \]

2. Через свойство хорд.

Пусть прямая \( CD \) пересекает окружность ещё раз в точке \( E \). Тогда хорды \( AB \) и \( CE \) пересекаются в точке \( D \).

По свойству пересекающихся хорд:

\[ AD \cdot BD = CD \cdot DE. \]

Диаметр \( AB \) перпендикулярен хорде \( CE \), значит, он делит её пополам: \( CD = DE \). Поэтому:

\[ AD \cdot BD = CD \cdot CD = CD^2. \]

3. Через свойство треугольника.

В прямоугольном треугольнике \( ABC \) высота \( CD \), проведённая к гипотенузе, делит его на два треугольника: \( \triangle ACD \) и \( \triangle CBD \).

Эти треугольники подобны, потому что у них есть равные острые углы. Из подобия получаем:

\[ \frac{CD}{AD} = \frac{BD}{CD}. \]

Перемножим крест-накрест:

\[ CD^2 = AD \cdot BD. \]

0 0 Пожаловаться