2. Найдите площадь круга, вписанного в равносторонний треугольник со стороной квадратный корень из 3 на 6.

3. Трапеция ABCD вписана в окружность, причём прямая AC делит угол A пополам. Найдите угол ABC, если хорда AD стягивает дугу в 108 градусов. Ответ дайте в градусах.

4. Найдите площадь круга, вписанного в квадрат со стороной 18.

5. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, разбивает его на 2 треугольника. Докажите, что площади этих треугольников равны.

6. Два отрезка AB и CD пересекаются в точке O, которая является серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников ACD и BDC.

2. Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника:

\[r=\frac{a\sqrt{3}}{6}\]

При \(a=\frac{\sqrt{3}}{6}\):

\[r=\frac{1}{12}\]

Тогда площадь круга:

\[S=\pi r^{2}=\frac{\pi}{144}\]

3. Вписанная трапеция является равнобедренной. Хорда \(AD\) стягивает дугу \(108°\). Из условия, что диагональ \(AC\) делит угол \(A\) пополам, получаем \(\angle DAB=84°\). Соседние углы трапеции в сумме дают \(180°\):

\[\angle ABC=180°-84°=96°\]

Ответ: \(96°\).

4. Радиус вписанного в квадрат круга равен половине стороны: \(r=18:2=9\). Поэтому:

\[S=\pi r^{2}=81\pi\]

5. Пусть \(CM\) — медиана прямоугольного треугольника \(ABC\), проведённая к гипотенузе \(AB\). Тогда \(AM=MB\), так как \(M\) — середина гипотенузы. Треугольники \(ACM\) и \(BCM\) имеют общую высоту, проведённую из точки \(C\) к прямой \(AB\), а их основания равны. Значит, их площади равны.

6. Точка \(O\) — середина отрезков \(AB\) и \(CD\). При повороте на \(180°\) вокруг точки \(O\) точка \(A\) переходит в \(B\), а точка \(C\) — в \(D\). Поэтому \(AC=BD\), \(AD=BC\), а сторона \(CD\) у треугольников общая. Следовательно, треугольники \(ACD\) и \(BDC\) равны по трём сторонам.

0 0 Пожаловаться