помогите с геометрией, пожалуйста!!! если можно, сфоткайте решение
1. В конус, осевое сечение которого есть правильный треугольник, вписан шар. Найдите отношение площади сферы к площади боковой поверхности конуса.

2. Диаметр шара равен высоте цилиндра, осевое сечение которого есть квадрат. Найдите отношение объемов шара и цилиндра.

1. Пусть радиус основания конуса равен \(r\). Осевое сечение — правильный треугольник, поэтому образующая конуса равна \(2r\), а высота равна \(r\sqrt{3}\).

Радиус вписанного шара равен радиусу вписанной окружности правильного треугольника:

\[R=\frac{r}{\sqrt{3}}.\]

Площадь сферы:

\[S_{\text{сферы}}=4\pi R^2=\frac{4\pi r^2}{3}.\]

Площадь боковой поверхности конуса:

\[S_{\text{бок}}=\pi r\cdot 2r=2\pi r^2.\]

Следовательно,

\[\frac{S_{\text{сферы}}}{S_{\text{бок}}}=\frac{2}{3}.\]

Ответ: \(\frac{2}{3}\).

2. Пусть радиус цилиндра равен \(r\). Осевое сечение — квадрат, значит высота цилиндра равна его диаметру:

\[h=2r.\]

Диаметр шара равен высоте цилиндра, поэтому радиус шара тоже равен \(r\).

Объёмы:

\[V_{\text{шара}}=\frac{4}{3}\pi r^3,\qquad V_{\text{цилиндра}}=\pi r^2\cdot 2r=2\pi r^3.\]

Тогда

\[\frac{V_{\text{шара}}}{V_{\text{цилиндра}}}=\frac{2}{3}.\]

Ответ: \(\frac{2}{3}\).

0 0 Пожаловаться