1. Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник. Найдите площадь этого сечения, если радиус

Ответы на вопрос

Отвечает Худяков Андрей.

Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник, $r=10$ см. Найти площадь сечения.

Осевое сечение конуса — это треугольник, проходящий через ось конуса. Его основание равно диаметру основания конуса:

AB=2r=20\text{ см}

Боковые стороны этого треугольника — образующие конуса, значит они равны между собой. То есть осевое сечение — равнобедренный треугольник.

Если равнобедренный треугольник прямоугольный, то прямой угол может быть только при вершине (иначе углы при основании не были бы равны). Значит, треугольник $AOB$ (вершина $O$ — вершина конуса) — равнобедренный прямоугольный, где $AB$ — гипотенуза.

Для такого треугольника высота к гипотенузе равна половине гипотенузы:

h=\frac{AB}{2}=10\text{ см}

(это же высота конуса).

Площадь осевого сечения:

S=\frac12\cdot AB\cdot h=\frac12\cdot 20\cdot 10=100\text{ см}^2

Ответ: $100\text{ см}^2$ .

Угол между образующей и осью $60^\circ$ , образующая $l=8$ см. Найти площадь боковой поверхности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, который получается в половине осевого сечения: гипотенуза — образующая $l$ , катеты — высота $h$ и радиус $r$ . Угол между образующей и осью — это угол между $l$ и $h$ , он равен $60^\circ$ .

Тогда:

\cos 60^\circ=\frac{h}{l}\Rightarrow h=l\cos60^\circ=8\cdot\frac12=4

\sin 60^\circ=\frac{r}{l}\Rightarrow r=l\sin60^\circ=8\cdot\frac{\sqrt3}{2}=4\sqrt3

Площадь боковой поверхности конуса:

S_{\text{бок}}=\pi r l=\pi\cdot(4\sqrt3)\cdot 8=32\sqrt3\,\pi\text{ см}^2

Ответ: $32\sqrt3\,\pi\text{ см}^2$ .

Прямоугольный треугольник с катетами 7 см и 12 см вращается вокруг меньшего катета. Найти площади боковой и полной поверхностей конуса.

При вращении вокруг меньшего катета $7$ см:

высота конуса:

h=7\text{ см}

радиус основания — второй катет:

r=12\text{ см}

образующая — гипотенуза исходного прямоугольного треугольника:

l=\sqrt{7^2+12^2}=\sqrt{49+144}=\sqrt{193}

Боковая поверхность:

S_{\text{бок}}=\pi r l=\pi\cdot 12\cdot \sqrt{193}=12\pi\sqrt{193}\text{ см}^2

Полная поверхность:

S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+S_{\text{осн}}=12\pi\sqrt{193}+\pi r^2

S_{\text{осн}}=\pi\cdot 12^2=144\pi

S_{\text{полн}}=12\pi\sqrt{193}+144\pi=\pi(144+12\sqrt{193})\text{ см}^2

Ответы на вопрос

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Геометрия

Последние заданные вопросы в категории Геометрия